Обозначим объемы понятий хА(х) и хВ(х) соответственно WхА(х) и WхВ(х) («WхА(х)» читается: множество предметов х, обладающих свойством А(х)). Тогда закон обратного отношения для двух понятий принимает вид: WхА(х)WхВ(х) если и только если А(х)В(х).

Ясно, что приведенные выше «парадоксальные случаи» легко разрешаются. Содержание (информация предиката) «х делится на 2 или на 3» составляет часть информации предиката «х делится на 2», поскольку имеет место следование А(х) А(х)\/В(х), вообще, из А следует А\/В. Предикат «х, сдавший все экзамены» информативнее, чем «х, сдавший какие-нибудь экзамены». Предикат, составляющий содержание (видовое отличие) первого понятия в формулировке парадокса Больцано имеет форму (где область значений х – люди, у – европейские языки).

Однако приведенных уточнений все-таки оказывается недостаточно. Возьмем, например, пары понятий «квадрат» и «квадрат с взаимно перпендикулярными диагоналями», или «число, делящееся на 2 и на 3» и «число, делящееся на 2, на 3 и на 6». Согласно понятию логического следования и введенному определению отношения «часть» для содержаний между понятиями, содержание второго понятия в каждой из этих пар шире, чем содержание первого, однако объемы первого и второго в каждой паре совпадают. Для разрешения трудностей этого рода необходимы определенные уточнения понятий «содержание понятия», «объем понятия», а вместе с тем и формулировки самого закона.

Необходимо различать логическое и фактическое содержание понятия и аналогично логический и фактический объемы понятий. Логическое содержание, которое до сих пор, по существу, имелось в виду, – это имеющаяся в понятии информация относительно обобщаемых в нем предметов, зависящая лишь от логической формы понятия. Фактическое содержание – это информация, которую мы имеем в понятии с учетом значений, имеющихся в его формулировке дескриптивных терминов (знаков предметов, свойств, отношений). «С учетом значений… дескриптивных терминов» означает «с учетом некоторой совокупности знаний относительно предметов, свойств, отношений – значений этих терминов» в составе некоторой теории, в которой используется данное понятие.

Логический объем понятия хА(х) составляет множество возможных предметов х, выполняющих предикат А без учета значений имеющихся в нем дескриптивных терминов, то есть рассматриваемый лишь со стороны его логической формы. Фактический объем того же понятия – это множество фактически существующих предметов, удовлетворяющих условию А с учетом значений его дескриптивных терминов.

Как уже упоминалось, объемы рассмотренных пар понятий, а также следующих – «квадрат» и «квадрат с взаимно перпендикулярными диагоналями», «число, делящееся на 2 и на 3» и «число, делящееся на 2, на 3 и на 6» равны. Теперь уточним: равны именно фактические их объемы. Что касается логических объемов, то для понятий каждой пары они различны. Именно: объем второго понятия в каждой паре уже, чем объем первого.

Сравнение логических объемов, как, впрочем, и фактических, можно осуществлять, подвергнув их предварительно разложению на некоторые составляющие [2, с. 196].

Формулировка закона обратного отношения должна быть уточнена теперь с учетом проведенных различений фактических и логических содержаний и объемов понятий. Ясно, что если мы сравниваем фактические объемы (или содержания) двух понятий, то соответственно должны рассматриваться отношения между фактическими содержаниями (или объемами). Отношению между логическими объемами (или содержаниями) соответствует отношение между логическими же содержаниями (объемами).

По существу, мы имеем теперь два закона обратного отношения: с одной стороны, для фактических содержаний и объемов, с другой – для логических. Приведенная выше формулировка относится именно к этому последнему закону. В качестве обобщающей их формулировки может быть принята следующая (закон обратного отношения):