Продемонстрируем приемы доказательства на ряде примеров. Их мы будем нумеровать с указанием слева Ті ( теорема номер і )

Т1 (Закон гипотетического силлогизма)

(p→q)→(( q → r)→( p→ r))

Доказательство:

1) p→q

2) q → r íДопущенияý

3) р

4) q íПО : 1,3ý

r íПО : 2,4ý

Т2 (Закон контрапозиции)

(`p→q)→( `q →р) (30)

1) `p→q íДопущенияý

2) `q

3) `p íДопущения косвенного доказательстваý

4) q íПО : 1,3ý

ПРТВРч í 2,4ý

Т3 (Второй закон гипотетического силлогизма)

(p→q)Ù( q → r)→( p→ r)

Доказательство:

1) p→q

2) q → r íДопущенияý

3) р

4) q íПО : 1,3ý

r íПО : 2,4ý

Т4 ( Закон экспортации)

(pÙq → r) →(р→(q → r)) (32)

Доказательство:

1) pÙq → r

2) р íДопущенияý

3) q

4) pÙq íВК : 2,3ý

r íПО : 2,4ý

Т5¢

(p→q)Ù( р → r) →(p→q Ù r) (32¢ )

Доказательство:

1) (p→q)Ù( р → r) íДопущенияý

2) р

3) p→q íУК : 1ý q Ù r

4) р → r

5) q íПО : 2,3ý

6) r íПО : 2,4ý

q Ù r íВК : 5,6ý

Докажем теперь аксиомы a), b), c), d):

a) pÚq→р

Доказательство:

1) pÚq íДопущенияý

р íУД : 1ý

b) р→ pÚq

Доказательство:

1) p íДопущенияý

рÚq íВД : 1ý

pÚq→ qÚр

Доказательство:

1) pÚq íДопущенияý

2) qÚр íДопущения к.д.ý

ПРТВВРч 1, 2

c) (р→ q) → (rÚр→ rÚq)

Доказательство:

1) р→ q íДопущенияý

2) rÚр

3) р íУД : 2ý

4) q íПО : 1, 3ý

rÚq íВД : 4ý

С помощью таблиц истинности можно убедиться, что ПО исключают случаи, когда его применения к истинным посылкам дает ложные результаты.

По определению импликации φ→ ψ ψ есть следствие φ во всех случаях, кроме такого, когда посылка φ истинна, а заключение ψ ложно. Так, что для доказательства того, что ПО позволяет делать из посылок следствия достаточно доказать, что импликация, антицидент которой является конъюнкция посылок, консеквент – вывод, полученный с помощью этого правила, является всегда истинной формулой.

Для ПО составляем формулу:

(φ→ ψ)Ù φ→ ψ.

И с помощью таблицы истинности убеждаемся, что эта формула тождественно истинна